Axe – Histoire et Philosophie des mathématiques

Les recherches développées dans le cadre de cette thématique visent, pour une part, à restituer et à analyser les diverses pratiques mathématiques que nous pouvons observer en nous appuyant sur nos sources et, pour une autre part, à développer une réflexion à caractère philosophique et anthropologique sur ces pratiques en tant que telles. Nous proposons une étude des pratiques qui les décompose de façon systématique, avant d’examiner les modalités de la recomposition de leurs éléments dans divers contextes.

Certains de ces éléments ont déjà fait l’objet d’une attention particulière dans le passé, par exemple les tables numériques, les instruments, les opérations, la notation des nombres et des quantités. Ils continueront de l’être, mais de nouveaux éléments viendront s’articuler avec les précédents, par exemple les diagrammes, les courbes, le raisonnement, les algorithmes, les approximations. Les recherches portent plus spécifiquement sur les éléments suivants :

• Nombres – Les nombres en tant qu’outils façonnés au cours de pratiques de quantification, de calcul, ou de stockage de l’information, continueront d’être un centre d’intérêt majeur des chercheurs travaillant sur cette thématique. Une partie de ce travail, en raison de son caractère interdisciplinaire, sera intégré à la thématique ‘Nombres, mesure et mesurabilité...’ de l’axe 5 lien. Un ouvrage collectif sur les diverses formes prises dans l’histoire par ce que nous appelons ‘nombres positifs’ et ‘nombres négatifs’ est en cours de préparation.
• Raisonnement mathématique – Des travaux sur les modalités de raisonnement mathématique dans divers contextes, notamment ceux de l’économie et des sciences astrales, sont en cours. Ces travaux entendent montrer la diversité des outils de raisonnement, qu’ils soient discursifs ou non discursifs. Pour cela, le rôle des diagrammes, des organisations spatiales des textes, ou de la mise en série des problèmes dans les raisonnements sera analysé. Un ouvrage collectif, Practices of Mathematical Reasoning, sous la dir. de Husson, Keller & Proust, est en chantier.
• Instruments – L’étude de l’interaction entre instruments et savoirs a une longue tradition en histoire de la physique où l’expérimentation s’appuie sur des pratiques de mesure et de calcul qui mobilisent une interaction constante entre théorie et instruments. Les chercheurs de cette thématique s’intéressent particulièrement aux instruments de mesure et de calcul pour les opérations élémentaires, planchettes et calculettes, aux planimètres et machines comme les analyseurs harmoniques et différentiels, jusqu’à l’ordinateur. Ils souhaitent mener ces recherches en coordination avec les historiens de la physique.
• Machines et approximation – L’utilisation de machines analogiques et digitales pour obtenir des résultats mathématiques élaborés (comme des intégrales par exemple) pose la question de l’approximation en mathématiques. Les chercheurs de la thématique s’intéressent à la façon dont ces questions ont été soulevées et traitées par les mathématiciens et physiciens qui ont eu recours à ces machines.
• Calcul – L’examen des éléments ci-dessus conduit à porter une attention particulière au calcul et aux opérations, en particulier en liaison avec les recherches menées sur les mathématiques aux XIXe et XXe siècles.

Les pratiques mathématiques, et en particulier les modalités de la recomposition de leurs éléments, sont étudiées dans le contexte des milieux ou des communautés qui les ont produites. Comme par le passé, nous nous intéresserons à des communautés de savants, à des milieux d’ingénieurs ou d’astronomes, à des milieux en charge de l’administration et des finances, à des groupes de marchands et à des collectifs villageois dans des sociétés sans écriture. Les recherches porteront plus spécifiquement sur les milieux suivants :

• Sciences astrales – Les pratiques mathématiques développées en relation avec les sciences astrales ont fait l’objet d’une partie du Projet Européen SAW. Dans la continuité de ces recherches, un travail est en cours sur comment furent traités les opérations, les quantités, les unités de mesure, les progressions arithmétiques et géométriques et les raisonnements par les praticiens des sciences astrales dans les mondes anciens. Un ouvrage collectif, Mathematical Practices in relation to the Astral Sciences, sous la dir. de Chemla, Husson & Keller, est d’ores et déjà en chantier.
• Ethnomathématiques – Les recherches en ethnomathématiques se développent dans le cadre (1) du projet ANR ETKnoS (2016-2020, coordonné par E. Vandendriessche) qui associe ethnomathématiciens, anthropologues et linguistes, pour mener notamment une réflexion sur la rationalité mathématique impliquée dans la pratique des jeux de ficelle dans diverses sociétés orales, (2) du travail doctoral « Ethnomathématique des dessins sur le sable du Vanuatu », (Alban Da Silva, dir. Eric Vandendriessche), et (3), au travers d’une coopération avec l’université de La Réunion qui vise à étudier des activités mathématiques pratiquées dans les iles du sud-ouest de l’océan Indien, notamment Madagascar et Mayotte (thèse en cours sur les jeux de semailles, L. Tiennot, dir. D. Tournès). Le travail dans cette thématique est étroitement coordonné avec celui qui est développé dans la thématique ‘Approches ethnographiques en histoire des sciences’ de l’axe transversal (axe 5).

Responsables

PROUST Christine

Chercheurs – Doctorants – Post–Docs

BARBIN Évelyne

BULLYNCK Maarten

CHAIGNEAU Pierre

CHEMLA Karine

CORTESE João

COUSIN Marion

CRIPPA Davide

DE VARENT Charlotte

DURAND-RICHARD Marie-José

FERREIROS Jose

GONCALVES Carlos

HAFFNER Emmylou

KELLER Agathe

MALET Antoni

METIN Frédéric

MICHEL Nicolas

MORICE-SINGH Catherine

RABOUIN David

REYNAUD Adeline

SMADJA Ivahn

SZCZECINIARZ Jean-Jacques

TROUILLOT Alexis

VANDENDRIESSCHE Éric

VERGNERIE Cédric

WANG Xiaofei

ZHOU Célestin

Mathématiques et philosophie ont entretenu au cours de l’histoire des relations riches et constantes. Dès Platon et Aristote, on trouve étroitement mêlées considérations mathématiques et philosophiques, selon une tradition qui se perpétue via les commentateurs jusqu’à la période classique au moins. Théorie de la science, statut des démonstrations, axiomes et postulats, classification des propositions, analyse et synthèse, traitement de l’infini, plus tard place et rôle de l’algèbre, du calcul différentiel, etc., nourrissent continuement les réflexions des mathématiciens et des philosophes dans une interaction féconde. Cette interaction n’est pas seulement intéressante à un niveau historique : elle permet encore au présent un enrichissement mutuel. D’un côté, elle peut fournir à l’historien des lignes de problématisation qui l’orientent dans ses reconstructions conceptuelles ; de l’autre, elle offre au philosophe la possibilité de développer une réflexion attentive à la variété des pratiques mathématiques et des cadres épistémologiques qui se sont développés au cours du temps. Ainsi se trouve naturellement conjoints deux des enjeux majeurs que doivent aujourd’hui relever l’histoire et la philosophie des mathématiques : développer une histoire conceptuelle qui évite le danger des reconstructions artificielles (notamment en s’appuyant sur les orientations philosophiques des acteurs eux-mêmes et la manière dont elles peuvent à l’occasion servir de normes dans leurs pratiques) ; développer parallèlement une philosophie des mathématiques qui puissent rendre compte de leur évolution historique et de la variation des cadres conceptuels qui l’accompagne.

La création de l’unité SPHERE en 2009 a permis un rassemblement unique de chercheurs travaillant de manière continue sur l’histoire et la philosophie des mathématiques depuis l’Antiquité grecque jusqu’à l’âge classique. Ces recherches se sont structurées sous la forme de groupes de travail (autour des périodes grecques et arabes, de la Renaissance et de l’Age Classique), dont on trouvera la description ci-dessous. Les chercheurs participent aux activités de ces groupes afin de développer une approche comparative systématique, et tout aussi bien une sensibilité à leurs spécificités, de ces différents corpus. Par ailleurs, le fait que l’unité développe des recherches portant sur d’autres périodes, comme l’antiquité mésopotamienne, et d’autres aires culturelles, comme l’Inde ou la Chine, a permis de confronter à de nombreuses reprises des explicitations fournies par nos acteurs à des corpus où ces explicitations font souvent défaut, mais où elles s’avèrent non moins éclairantes.

« Mathématiques grecques et arabes »

La connaissance des mathématiques écrites en arabe a sans aucun doute considérablement progressé au cours des quarante dernières années, venant souvent remettre en question le cadre historiographique le plus communément admis. C’est ce mouvement que l’on entend poursuivre ici, en continuant d’alimenter la recherche et la réflexion de textes nouvellement établis, qu’ils soient des traductions arabes de traités perdus ou non en grec (les sept premiers livres des Coniques d’Apollonius, la Section de rapport d’Apollonius, les Données d’Euclide, etc.), ou qu’ils proviennent de mathématiciens écrivant en arabe (Abū Kāmil, Thābit ibn Qurra, al-Siğzī, al-Jayyānī, al-Zanjānī, etc.). Il s’agit ainsi non seulement de s’intéresser aux seuls développements scientifiques de l’aire islamique, mais aussi – et surtout – de réinterroger l’ensemble des mathématiques classiques en restituant aux activités mathématiques passées l’horizon épistémique qui est le leur. Sont alors naturellement revisités des thèmes comme l’histoire des courbes, les concepts de rapport et de proportion, la place et le rôle de l’algèbre au sein des mathématiques, les rapports entre algèbre et géométrie, l’introduction du mouvement en géométrie, ou la pratique de l’analyse et de la synthèse. Toutes ces questions, et d’autres encore, sont abordées au cours d’un séminaire mensuel dédié.

« Mathématiques au Moyen Age latin et à la Renaissance »

Le Moyen Âge latin hérite des mathématiques grecques et arabes grâce à l’afflux de traductions au XIIe siècle. Après une période d’assimilation, le XIVe siècle voit l’apparition de développements originaux, notamment dans le cadre de réflexions sur la physique aristotélicienne et en particulier sur le mouvement, qui conduisent à une extension de la théorie euclidienne des proportions, mais aussi, dans le cadre théologique, de discussions sur le mouvement des anges, qui mènent à des réflexions sur la composition du continu et le statut des indivisibles, ou encore des réflexions sur l’accroissement de la charité qui induisent des raisonnements utilisant des sommations infinies. La plupart des traités mathématiques et physiques originaux produits à l’occasion de ces questions et de bien d’autres ont été édités à la Renaissance et ont nourri les réflexions des mathématiciens jusqu’au XVIIe siècle, même si bien souvent les sources médiévales sont occultées.

À la Renaissance, par ailleurs, une attention nouvelle portée aux manuscrits grecs, l’intérêt pour des textes mathématiques un peu passés inaperçus au Moyen Âge comme les traités d’Archimède, ou la redécouverte de nouveaux auteurs comme Proclus, Pappus ou Apollonius, de même que les développements de l’astronomie et l’extension des domaines d’application des mathématiques alimentent les réflexions des mathématiciens. L’algèbre prend aussi son essor et il serait réducteur de ne mettre l’accent que sur les travaux originaux des mathématiciens italiens sur les équations du troisième degré. L’algèbre pose des questions nouvelles, notamment sur le statut des nombres, sur les liens entre les disciplines, algèbre, géométrie, arithmétiques.

L’ensemble de ces questions nourissent les travaux de certains membres de SPHERE et font l’objet d’exposés lors de journées d’études ou de séminaires.

« Mathématiques à l’âge classique »

L’âge classique offre un laboratoire privilégié pour l’étude des rapports entre philosophie et mathématiques, ne serait-ce que par la richesse et la diversité des sources offertes. Pour autant, ces rapports se sont avérés, à l’étude, plus complexes que ne pouvait le laisser présager l’existence de grandes figures de « philosophes-mathématiciens » comme Descartes, Pascal ou Leibniz. On a trop souvent postulé une parfaite adéquation entre le développement de ces deux aspects. Ainsi l’âge classique est-il caractérisé sous ce point de vue par une forte continuité avec les périodes antérieures (voyez P. Mancosu, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, 1996), que la philosophie et les mathématiques ne connaissent pas. Parallèlement, l’étude de Henk Bos sur la transformation de l’idée d’exactitude dans la géométrie classique a bien indiqué la forte présence de normes épistémologiques informant les pratiques mathématiques sans relever de l’histoire de la philosophie stricto sensu (H. Bos, Redefining Geometrical Exactness, 2001). Ces options historiographiques nouvelles forment la base de nos travaux. Notre ambition plus large est d’informer une philosophie des mathématiques attentive à l’évolution historique de cette discipline - programme qui informe aussi bien le renouveau de la tradition française d’ « épistémologie historique » que l’évolution récente d’une partie de la tradition dite « analytique » de philosophie des mathématiques.

Responsables

CROZET Pascal

RABOUIN David

ROMMEVAUX-TANI Sabine

Chercheurs - Doctorants - Post-doctorants

BANCEL Faïza

BELLA Sandra

CORTESE João

CRIPPA Davide

CONFALONIERI Sara

CORTESE João

DE RISI Vincenzo

DEBROISE Philippe

DECORPS-FOULQUIER Micheline

GROSHOLZ Emily

HAFFNER Emmylou

HOUZEL Christian

LEVY Tony

KOUTEYNIKOFF Odile

LOIZELET Guillaume

MALET Antoni

MORELON Regis

PENCHEVRE Erwan

RASHED Roshdi

REMAKI Ariles

ROBERT Aurélien

SAMMARCHI Eleonora

SCHWARTZ Claire

SMADJA Ivahn

SZCZECINIARZ Jean-Jacques

TIMMERMANS Benoît

VAHABZADEH Bijan

Cette thématique regroupe un ensemble de recherches portant sur l’histoire et la philosophie des mathématiques du 19e au 21e siècles, selon deux orientations distinctes et complémentaires :

• d’une part, des recherches d’histoire des mathématiques qui s’attachent plus spécifiquement à l’étude des mathématiques des 19e et 20e siècles dans le cadre de différents projets fédérateurs ou groupes de recherches.
• d’autre part, des recherches de philosophie des mathématiques qui couvrent un large spectre allant de l’histoire de la philosophie des mathématiques des 19e et 20e siècles jusqu’aux enjeux contemporains liés aux mathématiques des 20e et 21e siècles (fondements et théorie des catégories, topoi, théories de l’abstraction, philosophie des pratiques mathématiques, logique et formalisation).

Bien que relativement indépendantes dans leurs méthodes propres et leurs formes de questionnement, ces deux orientations de recherches sont fortement liées par leur ancrage commun dans les mathématiques telles qu’elles se sont développées depuis le 19e siècle. Si du point de vue de l’histoire des mathématiques proprement dite, la césure entre le 18e et le 19e siècle apparaît très largement artificielle, et si, dans cette perspective, elle doit évidemment être elle-même questionnée, le choix que nous faisons de réunir dans un même axe l’ensemble de ces recherches se justifie néanmoins par la fécondité des dialogues croisés entre ces approches multiples.

Pour ce qui est de la première orientation, les recherches se répartissent pour le quinquennal 2018-2022 entre plusieurs nouveaux projets :

• Un projet « Démonstration et calcul » dans lequel nous nous proposons d’adopter une perspective nouvelle sur l’histoire des démonstrations dans les mathématiques des 19e et 20e siècles, en explorant les différentes formes de relations entre démonstration et calcul. Il s’agit ainsi de développer une alternative à cette forme d’historiographie de la démonstration mathématique, très largement dominante au 20ème siècle, qui faisait prévaloir la valeur de la rigueur axiomatico-déductive sur la valeur du calcul.
• Un projet « Géométrie et calcul », lié au précédent, mais distinct quant à ses questions directrices, dans la mesure où l’accent est mis sur les diverses modalités de parallélisme, d’intrication et de concurrence selon lesquelles la géométrie entre dans le calcul, ou le calcul se greffe sur la géométrie, etc.
• Un projet « Mécanisation et calcul : 19 et 20e siècles », dans la continuité de travaux antérieurs de certains membres de l’axe.
• Un projet « Legendre », autour de l’œuvre du mathématicien Adrien-Marie Legendre (1752-1833) à laquelle plusieurs membres de l’équipe ont consacré des travaux antérieurs qu’ils souhaiteraient prolonger dans le cadre d’un projet collectif de plus grande envergure, portant sur l’ensemble des aspects de l’œuvre (théorie des nombres, géométrie, fonctions elliptiques, etc.)
• Un projet « Mathématiques et historiographie des mathématiques » qui rassemblerait, coordonnerait et prolongerait, dans le contexte de ce sous-axe, les travaux de certains membres de l’équipe commencés notamment dans le cadre du projet ERC « Sciences in Ancient World », conduit par Karine Chemla. Nous souhaiterions pouvoir étendre et généraliser le type de problématisation des rapports entre historiographie et pratiques mathématiques au 19e et 20e siècles.
• Un projet « Curricula »

Un groupe de travail mixte est mis en place qui doit servir dans la phase de démarrage de plate-forme pour lancer les différents projets.

• Groupe « 19e-20e siècles ». Organisateurs : Frédéric Jaeck, Nicolas Michel, Ivahn Smadja
• Un autre groupe de travail se réunit une fois par mois sur une traduction collective de l’ouvrage suivant : A. Brill & M. Noether, "Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Functionen in älterer und neueuer Zeit", 1894 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol.3 (1892-1893), 107-566. Organisateurs : Karine Chemla (SPHere, CNRS-Université de Paris & Radcliffe Institute, Harvard University), Sara Confalonieri (HPS, Université de Paris, SPHere), Nicolas Michel (Université d’Utrecht, & SPHere). Le groupe se réunit une fois par mois.

Pour ce qui est de la seconde orientation « philosophie des mathématiques », les travaux menés au sein de l’équipe SPHERE s’organisent autour de différents pôles :

• Un séminaire INTERSEM de philosophie des mathématiques, coorganisé chaque année par Michael Detlfsen et plusieurs membres de l’équipe.
• Un séminaire sur l’abstraction mathématique coorganisé par le Professeur Jean-Pierre Marquis de l’Université de Montréal et le Professeur Jean-Jacques Szczeciniarz.
• Un programme de recherches s’inscrivant dans la continuité de l’ANR « Géométrie et physique à la charnière des XIXe et XXe siècles », dirigée par Jean-Jacques Szczeciniarz (2006-2010), qui regroupe des travaux autour des thèmes suivants :
  a) les rapports entre géométrie et physique, dans la continuité du livre Géométrie au XXe siècle co-édité par J.-J. Szczeciniarz ; en particulier la question du statut des nombres complexes en physique mathématique ;
  b) le statut de la science cosmologique et le rôle des constructions conceptuelles mathématiques dans la constitution des modèles cosmologiques (groupe de travail regroupant des chercheurs de l’équipe et de l’équipe APC – Université Paris Diderot) ;
  c) la question mathématique et philosophique de l’unité des mathématiques, sous les formes diverses que sont l’unification par les transformations intégrales, l’unification par la théorie de Galois, l’unification par la théorie des catégories. Dans ce contexte, un groupe de travail autour de la théorie des catégories rassemble plusieurs des chercheurs, enseignants-chercheurs et doctorants de l’équipe : Michel De Glas, André Rodin, Jean-Jacques Szczeciniarz, Sylvain Cabanacq.

Responsables

SMADJA Ivahn

SZCZECINIARZ Jean-Jacques

Chercheurs - Doctorants - Post-doctorants

ANEL Matthieu

BERTIN Pascal

BULLYNCK Marteen

CATREN Gabriel

CHEMLA Karine

CONFALONIERI Sara

DECAENS Simon

DURAND-RICHARD Marie-José

FERREIROS José

GASTALDI Juan Luis

GROSHOLZ Emily

HAFFNER Emmylou

HALIMI Brice

JAECK Frédéric

KELLER Agathe

MICHEL Nicolas

PENCHEVRE Erwan

PETROLO Mattia

RABOUIN David

TIMMERMANS Benoît

VERGNERIE Cédric

WANG Xiaofei