Séminaire – Histoire et philosophie des mathématiques de l’Antiquité à l’âge classique

Courbes et généralité à l’âge classique

Durant l’Antiquité, une courbe n’est que rarement étudiée comme faisant partie d’un ensemble, elle ne l’est que prise isolément. L’invention de l’écriture symbolique (Viète, Descartes) conduit à une toute nouvelle manière de résoudre des problèmes géométriques et à un accroissement du nombre de courbes à disposition du géomètre afin en particulier de construire la solution d’un problème. Leur prolifération ainsi que leur utilité amènent à ce que les courbes deviennent un objet d’étude à part entière. Il s’agit en premier lieu de chercher des critères d’exactitude (Bos) qui permettent d’admettre des courbes au sein de la géométrie. Il est bien connu qu’à ce titre La Géométrie (1637) a une réponse péremptoire : seules sont admises les courbes possédant une équation algébrique et cette équation représente son écriture générale. Leibniz élargit le champ admissible – courbes transcendantes – et produit ainsi une nouvelle forme de généralité. Les méthodes analytiques permettant de trouver les propriétés de courbes sont ainsi conçues par le géomètre en cohérence avec l’idée de généralité qu’il a statué. Il apparaît donc que le concept de courbe émerge d’emblée lié à aux formes de généralité induites par l’introduction de l’écriture symbolique.
Cette journée cherche à approfondir la connaissance de la manière dont la valeur épistémique qu’est la généralité façonne le concept de courbe aux débuts de l’analyse à l’âge classique, et ce, à travers l’examen de pratiques mathématiques de différents auteurs autant mineurs que majeurs. Nos analyses s’appuieront notamment sur les différentes tentatives proposées par les acteurs pour définir et mettre en œuvre une idée générale de courbe et comment cette idée guide une organisation et une classification d’un ensemble de courbes ou induit l’invention de méthodes, elles aussi générales, s’appliquant à un ensemble de courbes.

Programme

10h30-12h30

• Olivier Bruneau (Archives Poincaré)
  « Les courbes podaires chez MacLaurin : vers une généralisation du courbe »
  Résumé
  Dans un court article paru en 1718 dans les Philosophical Transactions of the Royal Society, Colin Maclaurin (1698-1746) présente une « nouvelle » classe de courbes que l’on nommera à partir des années 1840 les podaires. Isaac Newton encourage ce jeune Écossais à développer ses recherches et en 1719, Maclaurin publie sa Geometria Organica dans laquelle une partie est dédiée à la description de ce type de courbes. Cette construction est, à notre connaissance, due à Roberval mais celui-ci ne l’applique qu’à la cycloïde. À la même époque, les coordonnées podaires sont relativement bien installées et sont utilisées dans le cas des forces centrales.
  Dans cet exposé, nous présenterons les résultats de Maclaurin en essayant de les confronter à la pratique des coordonnées podaires et nous tenterons de montrer en quoi la production de ce jeune savant est restée isolée tout au long du 18e siècle.
• Sandra Bella (Archives Poincaré)
  « Le polygone infinitangulaire : concept général du calcul leibnizien ? »

Déjeuner

14h00- 16h00

• Thierry Joffredo (Archives Poincaré)
  « Le triangle analytique comme représentation et outil d’étude de l’équation générale d’une courbe algébrique chez Gabriel Cramer »
  Résumé
  Variation du parallélogramme analytique de Newton, emprunté à De Gua de Malves dans sa forme triangulaire, le triangle analytique est un dispositif central dans l’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer (ouvrage publié en 1750 à Genève), particulièrement opérationnel dans les très nombreux exemples qui peuplent les pages de l’ouvrage, lorsqu’il s’agit de définir les termes prépondérants d’une équation particulière à l’origine ou à l’infini, afin d’étudier les asymptotes, les branches infinies, ou les points singuliers de la courbe associée. Mais cette représentation des termes de l’équation générale d’une courbe permet également à Gabriel Cramer d’énoncer des résultats généraux sur les courbes algébriques (comme le nombre de points nécessaires pour définir une courbe d’ordre donné), de décrire des méthodes et procédures universelles pour leur étude et, in fine, d’œuvrer à la classification générale des courbes d’ordre trois, quatre et cinq. Nous nous proposons donc, dans cet exposé, de voir comment Gabriel Cramer prend appui sur ce dispositif dans son ouvrage pour imposer de l’ordre, de l’universalité et de la généralité dans ce paysage des courbes algébriques, à peine exploré au début du XVIIIe siècle, dont « les variétés perpétuelles, rappelées constamment à l’unité, offrent à l’Esprit un spectacle dont il ne se lasse jamais »
• Simon Gentil (Laboratoire SPHère)
  « La Courbe générale de Descartes à Euler »

Salle 628 bâtiment Olympe de Gouges Univ Paris Cité 8 Rue Albert Einstein